“十字翻转棋问题” 的解法

十字翻转棋问题有更巧妙的解法吗?线性代数带给我们不少启发。


题目描述

“传火” 这个游戏,需要点燃 $16$ 个火堆。
每个火堆可以处于以下两种状态之一:点燃或熄灭。
这 $16$ 个火堆可以表示为一个 $4\times4$ 的方阵,可以对任何一个位置上的火堆进行 “切换”。
例如,对 $[i,j]$ 位置的火堆进行切换,会使得第 $i$ 行和第 $j$ 列上的所有火堆的状态也随着改变。
要求最终所有的火堆都被点亮。

输入格式

输入一共包含 $4$ 行,每行包含 $4$ 个火堆的初始状态。
符号 “+” 表示火堆处于熄灭状态,而符号 “-” 表示火堆处于燃烧状态。
输入数据保证至少一个火堆的初始状态是熄灭的。

输出格式

第一行输出一个整数 $N$,表示所需的最少切换次数。
接下来 $N$ 行描述切换顺序,每行输入两个整数,代表被切换状态的火堆的行号和列号,数字之间用空格隔开。
切换动作按照整体从上到下、同行从左到右的顺序输出。

样例

输入样例

1
2
3
4
+++-
+--+
+--+
-+++

输出样例

1
2
3
2
1 1
4 4

思路与题解

最直接的思路当然是递归枚举所有可能的切换方式了。先枚举只切换一次的 $16$ 种情况,再枚举切换两次的 $15\times15$ 种情况,以此类推。

由此看来,这样做效率十分低下。假设最少切换次数是 $12$,运算量也可以达到 $10^9$ 数量级,根本无法应对需要更多切换次数的情况。

所以我们引入如下方法,首先给这 $16$ 个火堆编号:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&2&3&4\\\hline5&6&7&8\\\hline9&10&11&12\\\hline13&14&15&16\\\hline\end{array}$$

用 $b_i$ 表示第 $i$ 个火堆的状态,$b_i$ 取值 $1$ 为熄灭状态,取值 $0$ 为燃烧状态。样例中,$b$ 就可以如此表示为如下的 “状态向量”:

$$b=(1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1)^{\rm T}$$

接下来定义向量 $x$,用 $x_i$ 表示是否需要对第 $i$ 个火堆进行切换,是为 $1$,不是为 $0$ 。我们发现,火堆状态的切换可以用异或运算来表示;又由于火堆最终都将处于熄灭状态,我们可以对第一个火堆列出方程,并化简:

$$b_1\oplus x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus x_4\oplus x_5\oplus x_9\oplus x_{13} = 0$$

$$x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus x_4\oplus x_5\oplus x_9\oplus x_{13} = b_1$$

类似地,可以对第 $2,3,\ldots,16$ 个火堆列出方程,并组成方程组:

$$\begin{cases}x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus x_4\oplus x_5\oplus x_9\oplus x_{13}&=&b_1\\x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus x_4\oplus x_6\oplus x_{10}\oplus x_{14}&=&b_2\\\qquad\qquad\cdots\\x_4\oplus x_8\oplus x_{12}\oplus x_{13}\oplus x_{14}\oplus x_{15}\oplus x_{16}&=&b_{16}\end{cases}$$

于是,求解哪些火堆需要切换的问题则转化为了求解方程组的问题。

到了这一步,你的线性代数知识是否已被唤起?这里不再是线性方程组,而将线性方程中的加法换为异或,变为了 “异或方程组”,同样可以化为矩阵形式:

$$Ax=b\quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin{array}{c}\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\\\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\\\cdots\;\text{another 13 lines}\;\cdots\\0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,0\,0\,0\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\,\textcolor{red}{1}\end{array}\right]x=b$$

利用高斯消元法,对增广矩阵 $[A|b]$ 进行初等行变换(只包括行之间的异或运算),直到矩阵 A$ 化为单位矩阵;而变换后的状态向量 $b$ 便成了我们需要求解的 $x$ 向量。

最后根据向量 $x$,按顺序输出即可。

如此,$4\times4$ 的 “传火” 问题,甚至是 $m\times n$ 的十字翻转棋问题,便能在 $O((mn)^2)$ 的时间复杂度下解决了。

参考代码

solution.cpp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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#include <array>
#include <bitset>
#include <cstdio>
using namespace std;

void solve(bitset<16>& x)
{
// generate matrix A
array<bitset<16>, 16> A;
for (int i = 0; i != 4; ++i)
for (int j = 0; j != 4; ++j)
for (int k = 0; k != 4; ++k) {
A[i * 4 + j].set(i * 4 + k);
A[i * 4 + j].set(k * 4 + j);
}
for (int i = 0; i != 15; ++i) {
// if A[i][i] is not a pivot
// swap row i with the first row which has a pivot
if (!A[i][i])
for (int j = i + 1; j != 16; ++j)
if (A[j][i]) {
swap(A[j], A[i]);
bool tmp = x[j];
x[j] = x[i];
x[i] = tmp;
break;
}
// eliminate
for (int j = i + 1; j != 16; ++j)
if (A[j][i]) {
A[j] ^= A[i];
x[j] = x[j] ^ x[i];
}
}
// eliminate
for (int i = 15; i != 0; --i)
for (int j = i - 1; j >= 0; --j)
if (A[j][i]) {
A[j] ^= A[i];
x[j] = x[j] ^ x[i];
}
}

int main()
{
bitset<16> x;
for (int i = 0; i != 4; ++i) {
for (int j = 0; j != 4; ++j)
if (getchar() == '+')
x.set(i * 4 + j);
getchar();
}
solve(x);
printf("%ld\n", x.count());
for (int i = 0; i != 16; ++i)
if (x[i])
printf("%d %d\n", (i / 4) + 1, (i % 4) + 1);
}

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